বলুন তো কোন দরজার পিছনে গাড়ি রয়েছে?

মনে করুন, আপনি একটি গেম শো তে আছেন। আপনাকে ৩টি বন্ধ দরজা থেকে যেকোনো একটি বেছে নিতে হবে। এদের মাঝে একটি দরজার পিছনে রয়েছে একটি গাড়ি ও অপর দুটি দরজার পিছে রয়েছে ছাগল! জিততে হলে আপনাকে সেই দরজাটি বেছে নিতে হবে যার পিছনে গাড়ি রয়েছে। ধরে নেই আপনি ১ নাম্বার দরজা বেছে নিলেন। এখন উপস্থাপক আপনাকে চিন্তায় ফেলার জন্য অন্য একটি দরজা উন্মুক্ত করলেন। ধরে নেই যে, উপস্থাপক ৩ নাম্বার দরজা উন্মুক্ত করে দেখালেন যে ৩ নাম্বার দরজার পিছনে রয়েছে ছাগল। এখন উপস্থাপক আপনাকে সুযোগ দিলেন যে আপনি আপনার মতামত পাল্টাবেন কিনা, অর্থাৎ আপনি ১ নাম্বার দরজার বদলে ২ নাম্বার দরজাটি নিবেন কিনা! এখন প্রশ্ন হলো, কোন দরজাটি বেছে নিলে আপনার গাড়ি জেতার সম্ভাবনা বেশি? ১ নাম্বার দরজায় থাকলে সম্ভাবনা বেশি নাকি মতামত পাল্টে ২ নাম্বার দরজা বেছে নিলে জেতার সম্ভাবনা বেশি?

আপত দৃষ্টিতে মনে হয় যে, আমি যে দরজাই নেই না কেন জেতার সম্ভাবনা সমান থাকবে। কারণ, উপস্থাপক ৩ নাম্বার দরজা খোলার পর যখন দেখা যায় যে ৩ নাম্বার দরজায় ছাগল রয়েছে, তখন বাকি থাকে শুধু ১ নাম্বার দরজা আর ২ নাম্বার দরজা। আমরা জানি যে, এদের মাঝে যেকোনো একটি দরজার পিছনে রয়েছে গাড়ি আর অপর দরজার পিছনে রয়েছে ছাগল। তাই, দুটি দরজার মাঝে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা হলো ৫০% বা ১/২ । তাই, আমি যেই দরজাই নেই না কেন আমার জেতার সম্ভাবনা ১/২ ভাগ হবে। আসল ধাঁধাঁটা এখানেই। আপত দৃষ্টিতে যাই মনে হোক না কেন, বাস্তবতা হলো যে আমরা যদি মতামত পাল্টিয়ে ২ নাম্বার দরজাটি বেছে নেই তাহলে আমাদের জেতার সম্ভাবনা বেড়ে গিয়ে দাঁড়ায় ৬৬% বা ২/৩ ভাগ। আর আমরা মতামত না পাল্টালে অর্থাৎ ১ নাম্বার দরজাতেই থাকে আমাদের জেতার সম্ভাবনা কমে গিয়ে হয় ৩৩% বা ১/৩ ভাগ। কিন্তু এমনটি কেন?

এটি আসলে একটি বিখ্যাত ধাঁধা যা সম্ভাব্যতার সুত্র নিয়ে আমাদেরকে নতুন করে ভাবতে সাহায্য করেছে। এটি মন্টি হল প্রবলেম নামে বিখ্যাত। অদ্ভুত এই সমস্যার উদ্ভব হয় আমেরিকার জনপ্রিয় টিভি শো “লেটস মেক এ ডিল” থেকে। এই শো এর প্রথম উপস্থাপক মন্টি হলের নামানুসারে ধাঁধাটির নাম রাখা হয় মন্টি হল প্রবলেম। এই গেম শো তে খেলোয়াড়ের সামনে ৩ টি দরজা থাকে এবং উপস্থাপক তাকে একটি দরজা বেছে নিতে বলেন। খেলোয়াড়ের বেছে নেওয়া দরজার পিছনে পুরষ্কার থাকলে সেটা সে জিতে নেয়। ১৯৭৫ সালে দি আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিকান নামক জার্নালে স্টিভ সেল্ভিন নামক এক প্রফেসর এই ধাঁধাটি প্রথম উল্লেখ করেন। পরবর্তীতে প্যারেড ম্যাগাজিনে এই ধাঁধাটি ছাপানো হয় এবং পাঠকদের কাছে গাণিতিক প্রমান দেওয়া হয় যে মতামত পাল্টালে অর্থাৎ ১ নাম্বার দরজা থেকে সরে ২ নাম্বার দরজা বেছে নিলে জেতার সম্ভাবনা বেড়ে গিয়ে হয় ২/৩ ভাগ। মজার ব্যাপার হলো যে, প্রমান দেওয়ার পরেও অসংখ্য মানুষ এটা মেনে নিতে পারেনি। দশ হাজারের বেশি মানুষ প্যারেড ম্যাগাজিনে চিঠি পাঠিয়ে দাবি করে যে তাদের দেওয়া প্রমান ভুল। এদের মাঝে প্রায় এক হাজার জন পিএইচডিধারীও ছিলেন।

মতামত পাল্টালে জেতার সম্ভাবনা কেন বেড়ে যায় তার বিভিন্ন ধরনের প্রমান রয়েছে। এখানে সহজ প্রমানটি দেওয়া হলো যাতে সবাই বুঝতে পারে। একদম শুরুতে মোট ৩ টি দরজা ছিল যেগুলোর পিছনে কি আছে তা আমাদের কাছে অজানা। ৩টি দরজার পিছনে কত উপায়ে একটি গাড়ি ও দুটি ছাগল রাখা যেতে পারে তা দেওয়া হলো:

বেশির ভাগ লোকই ধারণা করেন যে প্রতিটি দরজার সম্ভাবনাই সমান এবং সিদ্ধান্তে পৌঁছান যে পছন্দ পরিবর্তন করলেও সম্ভাবনার কোন পরিবর্তন ঘটবে না। প্রকৃতপক্ষে সম্ভাবনা তত্ত্ব আনুসারে মতামত পাল্টালে জেতার সম্ভাবনা হয়ে যাবে ২/৩ ভাগ আর আগের মতামতে থাকলে জেতার সম্ভাবনা হবে ১/৩ ভাগ।

এটি ছাড়াও সম্ভাব্যতার সুত্র ও বায়াসের সূত্রের সাহায্যে প্রমান করা যায় যে মতামত পাল্টালে জেতার সম্ভাবনা হয় ২/৩ ভাগ। কিন্তু মানুষের মন তো গণিতের প্রমান সহজে মেনে নিতে চায় না! অনেক বিখ্যাত গণিতবিদও প্রমাণ দেখার সত্ত্বেও এটা মানতে রাজি হননি। এজন্যই এটি একটি ধাঁধা হিসাবে পরিচিত। এছাড়া আরো কিছু ধাঁধা রয়েছে যেগুলো মন্টি হল প্রবলেমের সাথে মিল রয়েছে। যেমন – বার্ট্রান্ড’স বক্স প্যারাডক্স, থ্রি প্রিজনার্স প্রবলেম ইত্যাদি।